Ejercicios Resueltos del Algebra de Boole

Ejercicios Resueltos del Algebra de Boole

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Resumen Compuertas Logicas

Resumen de Compuertas Lógicas

Resumen de Compuertas Derivadas

Comportamiento de las Compuertas Lógicas

Según la forma de conectar sus entradas, existen tres formas:

a) Las entradas están puenteadas:

b) Una de los cables de entrada trabaja como señal de control:

c) La señal de salida realimenta a la de entrada:

Practicando con el álgebra de Boole

Compuertas NOR y NAND con inversores en sus entradas

Las siguientes tablas representan las operaciones que realizan las combinaciones circuitales dibujadas abajo de las mismas.

Una compuerta OR con un inversor en su entrada A se puede dibujar de las dos formas:

De la misma forma pueden deducirse las dos combinaciones de compuertas que se detallan a continuación, y que realizan las operaciones "A ó no B" y "no A ó no B".

Igualmente pueden realizarse combinaciones de compuertas AND con una o más entradas negadas, que dan lugar a las operaciones definidas en las siguientes figuras.

El procedimiento realizado puede generalizarse a compuertas de cualquier número de entradas.

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Forma Normal de una Función

Formas Normales o Canónicas de una Funcion

También podemos tener en lugar de la expresión booleana la tabla de verdad de la misma. Sabemos que a cada tabla le podemos asociar muchas expresiones algebraicas equivalentes, y a cada una de estas le corresponderá un circuito distinto.

Para resolver esta cuestión en general, hace falta hallar por lo menos una de las expresiones algebraicas equivalentes. También sería bueno hallar la que esté asociada a un circuito que tecnológica y económicamente interese implementar.

Nos ocuparemos aquí de las expresiones booleanas que se corresponden con estructuras circuitales del tipo de las que constituirán los circuitos de una ROM, que vienen integrados en un solo "chip", parte de cuyo conexionado interno el usuario puede determinar. A estas expresiones se las llama canónicas o normales.
Existen dos formas canónicas: la normal disyuntiva o suma de minitérminos, y la normal conjuntiva o producto de maxitérminos.

Mintérminos

Es un producto lógico (AND) en el cual figuran una sola vez todas las variables lógicas en juego. Estas variables pueden estar o no afectadas de la negación lógica, en caso de estarlo dicha negación solo puede afectar a variables individuales, nunca a operaciones.

Es decir, dado un número n de variables, un minitérmino es un producto lógico cuyos factores son todas las variables, negadas o no.

Mediante dos variables es posible formar 22 = 4 productos distintos o mintérminos.

Siempre que Z sea 1, se realiza el producto lógico de las dos variables de la fila correspondiente, y se forma luego la suma lógica de estos factores. Así,

Un producto lógico resulta con el valor lógico 1 para una sola combinación de valores de las variables que son sus factores.

Luego se procede a efectuar el circuito correspondiente. Para cada minitérmino hay una sola combinación para la cual el producto resulta 1, y recíprocamente, dada una combinación de valores de las variables, existe un solo minitérmino que resulta 1 para esa combinación.

Por ende, dada una tabla de verdad de una función, si se hace una suma con los minitérminos correspondientes a las combinaciones de valores de las variables para las cuales la función vale 1, dicha suma de minitérminos responde a la tabla dada.

Nótese que la variable se niega cuando su valor es cero (0) y no se niega cuando su valor es uno (1) para los mintérminos y lo contrario para los maxtérminos. Tres variables A, B, C y sus respectivas negaciones, dan lugar a 22 = 8 productos distintos o mintérminos:

En general, las n variables y sus negaciones pueden combinarse para formar hasta 2n productos diferentes o mintérminos.

Ejemplos:

Resulta inmediato que cada producto mintérmino toma el valor lógico uno solo para una única combinación de valores lógicos de las variables que lo constituyen, resultando de valor cero para todo el resto de las combinaciones. De esta manera, un mintérmino vale 1 solo para la combinación 101 ( o sea A = 1, no B= 0, C = 1):

Por la tanto, puede establecerse una correspondencia biunívoca entre cada combinación de valores lógicos de una tabla de verdad y el mintérmino que toma el valor 1 para dicha combinación.

Forma Canónica o Normal Disyuntiva

Esta dada por la sumatoria de los mintérminos para los cuales la función vale 1. es decir, es una suma de productos (SP).

Para hallar la forma normal disyuntiva de una función a partir de su tabla de verdad, en las filas donde la función vale 1 se forma el producto de todas las variables, remplazando los “ceros” por su respectiva variable negada, y los “unos” por su correspondiente variable sin negar.

Luego se realiza la suma de los mintérminos así determinados.De esta manera resultara que el numero de mintérminos es igual al numero de “unos” de la columna resultado (Z) de la tabla de verdad.

Entonces la forma normal disyuntiva de la tabla anterior será:

Maxtérmino

Es una suma lógica (OR) en la cual figuran solo una vez todas las variables lógicas en juego. Estas variables pueden estar o no afectadas de la negación lógica. En caso afirmativo, dicha negación solo puede afectar a variables individuales, nunca a operaciones.

Forma Normal Conjuntiva

Esta dada por el producto de los maxitérminos para los cuales la función vale 0. Es decir es un producto de sumas (PS). Para hallar la forma normal conjuntiva de una función a partir de su tabla de verdad, en las filas donde la función vale 0 se forma la suma de todas las variables, reemplazando los “unos” por su respectiva variable negada, y los “ceros” por su correspondiente variable sin negar. Luego se realiza el producto lógico de los maxiterminos así constituidos. De esta manera resultara que el número de maxitérminos es igual al número de “ceros” de la columna de resultados (Z) de la tabla de verdad. Entonces la forma normal conjuntiva de la última tabla de verdad será:

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Principio de Dualidad y Funciones Equivalentes

Principio de Dualidad

Cualquier propiedad en el álgebra de Boole sigue siendo validad si se intercambian entre si todas las operaciones (+) y (.) y además se intercambian los valores 0 y 1.

Ejemplo:

A + 0 = A
A • 1 = A

Equivalencia entre Funciones Lógicas

Dos expresiones booleanas o funciones son equivalentes si tiene igual tabla de verdad. Una expresión lógica le corresponde una sola tabla de verdad, mientras que una tabla de verdad puede formarse algebraicamente mediante diversas funciones equivalentes.

Asimismo, circuitos lógicos que corresponden a expresiones algebraicas equivalentes, o sea que realicen la misma función lógica, tendrán la misma tabla de funcionamiento por lo que podrán reemplazarse unos por otros. La equivalencia se obtiene aplicando el principio de dualidad.

Circuitos Equivalentes de un Solo Tipo de Compuertas

Equivalencias And- Or Y Nand- Nand

Es quizás la equivalencia más empleada en circuitos integrados, por ser la compuerta NAND de fabricación masiva. Algebraicamente:

Se ha convertido una suma de productos en un producto negado de productos negados

Equivalencias Or-And y Nor-Nor



de un producto de sumas se paso a una suma negada de sumas negadas.

Utilidad de las Funciones Equivalentes

Como vimos anteriormente, dos expresiones booleanas o funciones se dicen equivalentes si sus tablas de verdad coinciden. A una función lógica le corresponde una única tabla de verdad, mientras que a una misma tabla de verdad se le puede asociar diferentes expresiones equivalentes. Esto permite reemplazar un circuito por otro, dependiendo de las necesidades técnicas y/o económicas que se posean. Más especificamente, la utilidad de el concepto de funciones equivalente yace en la posibilidad de utilizar menos cantidad de chips para la implementación de un circuito. Si queremos implementar la función original Z=(P+Q).(R+S), deberíamos hacerlo:

En cambio, una vez aplicado el concepto de funciones equivalentes y obtenida la expresión

la implementación mediante chips, sería:

De esta forma podemos ver que, a diferencia del primer caso, estamos utilizando sólo UN chip.

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Leyes del Algebra de Boole

Leyes del Algebra de Boole

Es parte de la matemática que utiliza expresiones basadas en la lógica dual. Su aplicación a los circuitos binarios se llama ÁLGEBRA DE CIRCUITOS LÓGICOS.

1) Ley conmutativa

A + B = B + A

2) Ley asociativa

A + (B + C) = (A + B) + C

3) Ley distributiva

Del producto respecto de la suma: A . (B + C) = A . B + A . C

De la suma respecto del producto: C + B . A = (C + B) . (C + A)

4) Ley de absorción

Para la suma             Para el producto
A + A = A               A . A = A
A + 0 = A                A . 0 = 0
A + 1 = 1                 A . 1 = A

5) Ley de doble negación

Doble negación: en caso de disponer de dos inversores en serie, de modo que el cable "no A" que está a la salida del primero sea a su vez la entrada del segundo inversor. El cable a la salida del segundo inversor está en oposición al cable "no A", por lo cual debemos indicarlo como "no A". Es claro que este último cable tendrá un nivel de tensión que coincidirá con la del cable de entrada del primer inversor. Así, "no no A"= A.

6) Identidad de De Morgan

Sirve para transformar sumas lógicas en productos lógicos

Y productos lógicos en sumas lógicas

7) Relaciones de De Morgan

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Compuertas logicas, funciones basicas y derivadas

Funciones Básicas

Expresión Booleana, Compuerta Lógica, Tabla de Verdad y Circuito Lógico

Una compuerta OR de dos entradas es un dispositivo electrónico que presenta dos entradas, a las cuales llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B), y una salida. Esta genera en el cable (Z) un nivel que depende de los niveles existentes en las entradas. Su expresión booleana es:
Z = A + B
Esta función se puede representar mediante compuertas lógicas:

Z puede tomar 2 valores: 0 o 1. Si toma este último valor, entonces significa que Z se activa. Se debe tener en cuenta que Z = A + B, y que:

0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 1


Entonces Z se activa si A o B toman el valor 1. Esto se representa con la tabla de verdad

B A Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1



Las primeras dos variables A y B son las variables de entrada y Z es el resultado de la combinación de dichas variables, es decir, Z es la variable de salida. Veamos como se puede representar la función A + B con circuitos lógicos:

La corriente eléctrica, generada por la batería, debe recorrer el cable desde el polo positivo al negativo. Esto hace que se prenda la luminaria (Z = 1). Para que la electricidad pueda recorrer el cable, basta con que se active, al menos, uno de los pulsadores, es decir, A o B. En caso que ningún pulsador sea activado (A = 0 y B = 0), entonces la luminaria se encuentra apagada (Z = 0).

Convención: la posición normal de un contacto es la correspondiente al estado de reposo en que permanece, mientras no actúa ninguna fuerza venciendo a su resorte de retención. Se acostumbra designar un contacto normalmente abierto (N. A) con una variable sin negar, mientras que otro normalmente cerrado (N. C) se representa por una variable negada.

Un contacto normalmente cerrado es el que se usa el las puertas de las heladeras o automóviles, que encienden una luz cuando deja de estar oprimido.

Operación suma lógica: la compuerta or realiza una operación que simbolizaremos con el operador binario representado por el signo "+" que indica esta operación definida por la tabla de verdad anterior, la cual contempla todos los casos posibles. Se denomina suma lógica u operación Or, siendo que coincide formalmente hasta el tercer renglón de la tabla con la suma aritmética. Dado que los valores lógicos de cada suma corresponden a las variables A, B y Z, en forma sintética podemos expresar Z = A + B, y se lee Z es igual a A o B.

Compuerta OR de más de dos entradas: en una compuerta OR de un número cualquiera n de entradas a las que llegan igual número de cables designados A, B, ..., N, el cable Z conectado en su salida estará encendido si A o B o C o ... o N está encendido.

Una Compuerta AND de dos entradas es un dispositivo electrónico que presenta dos entradas, a las cuales llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B), y una salida (Z). Su función booleana es: Z = A.B

Se debe tener en cuenta que Z = A • B, y que:

0 • 0 = 0
1 • 0 = 0
0 • 1 = 0
1 • 1 = 1


Z se activará si A y B toman el valor 1. Esto se representa con la tabla de verdad.

B A Z
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1



Veamos como se puede representar la función A • B con circuitos lógicos:

Como se puede observar en el gráfico, la corriente eléctrica recorrerá el cable solo si se activan ambos pulsadores al mismo tiempo. Cuando esto ocurra, la luminaria se enciende. Es decir, Z se activará (Z = 1).

Operación producto lógico: a la compuerta AND la simbolizaremos con el operador binario representado por "•". Se denomina producto lógico por coincidir simbólicamente los resultados de los productos lógicos y numéricos. Puesto que los valores lógicos de cada producto corresponden a las variables A, B y Z, en forma simbólica podemos expresar: Z = A • B, y se lee Z igual a A por B.

Como en el caso de la compuerta OR, en la compuerta AND también podemos tener más de dos entradas. En ese caso, el cable Z estará encendido sólo si todos los cables de entrada están encendidos. De lo contrario, Z estará apagado.

Una compuerta seguidor es un dispositivo electrónico que actúa como buffer, es decir, que mantiene en la salida, el valor que se encuentra a la entrada. Su expresión booleana es: Z = A

A Z
0 0
1 1

Una compuerta EXOR u OR excluyente de dos entradas es un dispositivo electrónico que presenta dos entradas, a las cuales llegan los estados de las dos variables (A y B), y una salida, que genera en el cable (Z).

El comportamiento eléctrico de la compuerta XOR se resume en la siguiente tabla, que difiere de la tabla de la compuerta OR sólo en el último renglón:

A B Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0


Esta compuerta es importante dado el hecho ya señalado de la imposibilidad de que un cable pueda estar con los dos estados de tensión simultáneamente. A la operación definida por esta compuerta la simbolizaremos con el operador binario representado por "(+)", y cuyas combinaciones se detallan a continuación:

Puesto que los valores lógicos de cada producto corresponden a las variables A, B y Z, podemos expresar: Z = A (+) B, y se lee Z es igual a A or excluyente B.

Compuertas Derivadas

Compuertas con un Inversor en su Salida

Compuerta NOR: una compuerta NOR es una compuerta OR con un inversor en su salida que complementa cada resultado que ésta genera, de modo de realizar una suma lógica negada.

La tabla de verdad se presenta en la figura anterior, mostrando en la última columna los cálculos algebraicos. El circuito a continuación es un circuito serie con pulsador NC:

Compuerta NAND: una compuerta NAND resulta de invertir la salida de una compuerta AND. Su expresión booleana es:

La figura muestra la tabla de funcionamiento y las operaciones algebraicas correspondientes.

Su circuito lógico es un circuito paralelo, NC:

Una Compuerta Inversor o inversora es un dispositivo electrónico que enciende el cable que está en su salida, si el cable que está en su entrada se encuentra apagado, y viceversa. Decimos entonces que los cables A y Z son complementarios, o que uno es el inverso del otro, o que están en oposición. Puede decirse que uno es la negación del otro.

Operación negación: la tabla de verdad define la operación inversión que realiza la compuerta inversora. Dado que Z vale 1 cuando A no vale 1, y que Z vale 0 cuando A no vale 0, podemos decir que Z es no A. Escribimos entonces su expresión booleana:

El símbolo de la barra sobre la variable booleana indica la operación de negación que el inversor realiza sobre los valores de la misma.

En particular, 0 = 1 y 1 = 0. Cabe mencionar que en general un círculo denota inversión, esté o no acompañado del triángulo.

Esta función se puede representar mediante compuertas lógicas:

Se debe tener en cuenta que la función inversor (o negación), justamente invierte el valor de las variables:

0 = 1
1 = 0

Entonces Z se activará si A toma el valor 0.

Veamos como se puede representar con circuitos lógicos:

Obsérvese que a diferencia de los circuitos anteriores, el pulsador aquí es normalmente cerrado. Es decir, que la corriente circula por el cable todo el tiempo (Z = 1), justamente cuando no se activa el pulsador A (A = 0).

Si se presiona el pulsador A (A = 1), entonces la electricidad dejará de recorrer el cable (Z = 0).

Una Compuerta EX – NOR (OR exclusiva negada) resulta de invertir la salida de una compuerta EX - OR. Su expresión booleana se obtiene:

Su tabla de verdad es y circuitos lógicos son:

A B Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

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